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表格式累积和(CUSUM)图

十九世纪二十年代,在西部电子公司供职的沃特•休哈特博士创建了第一张控制图。距今,控制图已经使用将近 100 年。1931年,休哈特博士出版了具有里程碑意义的《产品制造质量的经济控制》一书,奠定了现代统计质量控制方法的基础。

今天,很多质量控制方法都是对休哈特的技术的改进。所有这些改进都是为了更好地支持现代生产方法和挑战。其中一种图是表格式累积和图,或简称为累积和(CUSUM)图。
什么是累积和图?
控制图一样,累积和图以时间为顺序记录数据的。图表在过程发生显著变化时警示用户。累积和图不使用原始数据、均值、极差或标准差记录数据,取而代之的是有代表性的近似数据,子组和子组与指定目标或产品均值的偏差的累积和的数据。表格式累积和图的主要优势是更加灵敏地侦测均值的微小偏移,相比单值移动极差图,这一点尤其明显。
为什么使用累积和图?
基本上,使用积累和图的原因可以归结为敏感性。通常认为均值极差图和均值标准差图是过程控制的有力工具。这种效力基于:随着子组样本数 n 的增加,均值的分布趋近于正态分布。子组样本数越大,均值图对均值显著偏移越敏感。提高控制图敏感性和提高子组样本数一样简单。但是,不是所有人都可以使用提高子组样本量这样的奢侈方式。比如,生产车间生产的产品是短制程生产,或者产品的质量检测是破坏性的实验。在这种情况下,可以获得的数据很少,或者出于成本的考虑,数据难以采集,因此无法提高样本容量。

如果子组大小不能提高,那么单值、移动极差(IX-MR)图就会是比较好替代均值极差图的选择。然而,因为在单值图上,描点为单值(不是平均值),单值图对于总体均值的微小偏移敏感性很差,特别是与均值图相比较。

累积和图普遍使用的另一个原因是可以减低风险。比如,有的公司生产的产品如果偏离目标值太远,将导致灾难性的后果。这些组织将不能等到数据超出+/-3σ控制限才生成警报。因此,他们需要对微小的过程变化更加敏感。

上面的理由表明累积和图的有效性。在均值发生很小(1 - 1.5σ)的变化时,必须识别出来。在控制过程的数据很少时,累积和图是出色的解决方案。目前,累积和图已被广泛应用于航空、冶金、化工和连续流程性行业。
如何生成累积和图?
和传统的控制图比,表格式累积和图是独特的,在生成累积和图的过程中,必须使用特定的参数和统计信息。

参数 描述
英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数 英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数数据点是用来排除在表格累积和图上超过上限的数据点。上限用来识别超过过程目标值英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数的变化。
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英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数 过程均值或目标值。
英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数 样本标准差,或长期(LT)标准差。
英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数 在累积和图中检测到过程均值的向上偏移,以标准差为单位,通常在 0.5σ 到 1.5σ之间。
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英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数 “上参考”值是累积和图上限。累积和图上限值是仅当偏差超过目标值指定的K值的累积值。 K 值为检测到的偏移值的一半。
英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数 “下参考”值是累积和图下限。累积和图下限值是仅当偏差超过目标值指定的K值的累积值。 K 值为检测到的偏移值的一半。
英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数 决策参数。决定决策区间的因子, H 。尽管有时用的是 4,但通常定义为 5。
英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数 “决策区间”,作用与控制限一样。
英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图的参数 可选项,快速初始响应(FIR)或“抢先”,通常是H的一半,在没有数据时,常作为初始CUSUM值。

表1在表格式累积和图中必须用到的参数和统计信息
表格式累积和图范例
钢铁公司为建筑行业生产大量的工字钢。工字钢形状巨大,生产成本高昂,而且不是经常生产。作为关键质量特性,“A-尺寸”难于测量,但又必须严格控制。

如果A-尺寸平均值有超过目标值向上偏移为 1σ,产品的强度会损坏,且产品只能报废。如此一来将造成巨大的经济损失。为了防止出现这种情况,公司要求在A-尺寸平均值偏离目标值至少一个σ时提示操作员。

在历史上,A-尺寸的平均值接近50.00,历史标准偏差为约为 0.70。下面是最近采集的 28 个A-尺寸的值,见下表。在21-28子组中带有星号,表示均值从 50.00 变到50.75 ,大约增加了一个σ。

子组编号 A-尺寸 子组编号 A-尺寸
1 50.453 15 49.895
2 50.682 16 50.014
3 49.686 17 49.373
4 49.572 18 50.523
5 51.333 19 51.111
6 50.280 20 50.044
7 49.240 21* 51.601
8 50.478 22* 50.479
9 49.263 23* 49.089
10 50.046 24* 50.632
11 49.540 25* 50.373
12 49.270 26* 51.682
13 50.316 27* 50.521
14 49.512 28* 51.639
 
表2在表格中,最后八个子组中超过一个σ
 

图3中看到A-尺寸数据的传统的 IX-MR 控制图。蓝色的垂直标记表示A-尺寸均值开始了持续的 1σ的增长。

英国威廉希尔体育公司SPC软件-移动极差控制图

图3 A-尺寸数据的IX-MR 控制图
 
尽管在单值移动极差控制图上,最后八个A-尺寸的尺寸值确实有1σ的增长,但没有数据落在控制限之外。这种偏差在单值图上是很难察觉的,因为当子组样本量很小的时候,单值图在感知均值的微小改变上存在天生的缺陷。

为了验证表格式累积和图的优越性,使用表格2中同样的数据,完成下面的例子。
创建表格式累积和图
创建累积和图需要下面几个步骤:
  • 1、表2的数据,必须转换,然后将点描为两种不同的累积和数据点:
    • a、值表示在目标值以下的值的累积和
    • b、值表示在目标值以上的值的累积和。
  • 2、目标值的识别,
  • 3、选择检测到均值以上的偏差,
  • 4、选择检测到均值以上的偏差,
  • 5、决策参数的选择,H

第一,根据范例工字钢的描点值计算的累积和图上的描点值,显示如表4。

       
子组编号 A-尺寸 CUSUM上点 CUSUM下点
1 50.453 0.065 0.000
2 50.682 0.359 0.000
3 49.686 0.000 -0.022
4 49.572 0.000 -0.158
5 51.333 0.946 0.000
6 50.280 0.838 0.000
7 49.240 0.000 -0.468
8 50.478 0.091 0.000
9 49.263 0.000 -0.445
10 50.046 0.000 -0.107
11 49.540 0.000 -0.275
12 49.270 0.000 -0.714
13 50.316 0.000 -0.106
14 49.512 0.000 -0.301
15 49.895 0.000 -0.114
16 50.014 0.000 0.000
17 49.373 0.000 -0.335
18 50.523 0.135 0.000
19 51.111 0.858 0.000
20 50.044 0.515 0.000
21* 51.601 1.728 0.000
22* 50.479 1.819 0.000
23* 49.089 0.520 -0.619
24* 50.632 0.764 0.000
25* 50.373 0.749 0.000
26* 51.682 2.044 0.000
27* 50.521 2.177 0.000
28* 51.639 3.428 0.000

表4计算出来的累积和图点,用于绘制累积和图上下线
绘图点
下面是完成工字钢例子的累积和图所必须的假设和计算:
  • 1、 = 目标值 = 实际过程均值 = 50.048
  • 2、 = 估计标准偏差 = 0.6796
  • 3、 = 检测到的正偏差 (z) = 1.0σ
  • 4、 = 检测到的负偏差 (z) = 1.0σ
  • 5、 = 上参考值 = = = 0.3398
  • 6、 = 上参考值 = = = 0.3398
  • 7、h = 决策参数 = 5
  • 8、H = 决策区间 = h = 5 × = 5 × 0.6796 = 3.398

使用下面的公式计算上下绘图点作为开始:
每个绘图点取下面结果中较大的值:
  • 1、零或
  • 2、从当前子组值中减去和 K 的和,xi,然后加上以前绘图点 (表示为:)。

上累积和图计算:
下累积和图计算:

表5在累积和图上计算前三个子组的绘图点。

上下累积和图值计算后,将它们绘制在同一图表上(见图6)。

英国威廉希尔体育公司SPC软件-表格式累积和图

表6在表格式累积和图上的工字钢A-尺寸数据
理解表格式累积和图
在上面的图中,需要注意到那与众不同的双线条,这个累积和图看起来和休哈特的控制图非常相似。这也是该图吸引人的地方。两个不同的绘图点让钢铁制造商可以同时看到累积和上、下偏离目标的情况。而这样的绘图点仅仅在上面的图中计算,累积和图的计算对下面的移动极差没有影响。如果在均值上没有明显的偏移,累积和图点将围绕中心线 0 波动。在前 20 个绘图点的情况就是这样。

回顾前面的数据,前二十个子组的数据均值为 50.048,估计标准差为 0.6796。从21个 到28 个子组,均值变为 50.75。A-尺寸均值增长了 1σ多一点。

钢铁公司特别关心均值相对于目标值的增长。不像图3的单值移动极差图那样,累积和图触发警报,表示均值上升大于1σ。总体上,和前面的数据相比,第20个子组后的数据落点远远高于中心线。这也进一步证明均值出现了连续的上升。

此外,最后4个绘图点稳定地上升,直到最后一个绘图点超过上控制限(H 值 = 5 = 5(.6796) = 3.398)。不像在单值移动极差控制图上的独立点,每个累积和图值受到前面的数值的影响。 单值移动极差不是这样的。这样可以使表格式累积和图对均值微小的变化更加敏感。
 
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